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HongMain 的博客

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理解矩阵(二)  

2011-08-06 10:59:54|  分类: 编程语言(主要是 |  标签: |举报 |字号 订阅

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原文地址:http://blog.csdn.net/myan/archive/2006/04/03/649018.aspx

接着理解矩阵。

上一篇里说“矩阵是运动的描述”,到现在为止,好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念,在数学和 物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候,总会有人照本宣科地告诉你,初等数学是研究常量的数学,是研究静态的数学,高等数学是变量的数学, 是研究运动的数学。大家口口相传,差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人,好像也不多。简而言之,在我们人类的经验里,运动是一个 连续过程,从A点到B点,就算走得最快的光,也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径,这就带来了 连续性的概念。而连续这个事情,如果不定义极限的概念,根本就解释不了。古希腊人的数学非常强,但就是缺乏极限观念,所以解释不了运动,被芝诺的那些著名 悖论(飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论)搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的,所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授 写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分,才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。

不过在我这个《理解矩阵》的文章里,“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动,而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点,经过一个“运动”,一下子就“跃迁” 到了B点,其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”,或者说“跃迁”,是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人,就会立 刻指出,量子(例如电子)在不同的能量级轨道上跳跃,就是瞬间发生的,具有这样一种跃迁行为。所以说,自然界中并不是没有这种运动现象,只不过宏观上我们 观察不到。但是不管怎么说,“运动”这个词用在这里,还是容易产生歧义的,说得更确切些,应该是“跃迁”。因此这句话可以改成:

“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

可是这样说又太物理,也就是说太具体,而不够数学,也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换,来描述这个事情。这样一说,大家就应该明白了,所谓变换,其实就是空间里从一个点(元素/对象)到另一个点(元素/对象)的跃迁。 比如说,拓扑变换,就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说,仿射变换,就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下,这个仿射空 间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道,尽管描述一个三维对象只需要三维向量,但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因,很多书上都写着“为了使用中方便”,这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因,是因为在计算机图形学里应用的图形变换,实际上是在仿 射空间而不是向量空间中进行的。想想看,在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量,而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东 西,所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了,有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

一旦我们理解了“变换”这个概念,矩阵的定义就变成:

“矩阵是线性空间里的变换的描述。”

到这里为止,我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的,在一个线性空间V里的一个线性变换T,当选定一组 基之后,就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换,什么是基,什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的,设有一种变换T,使得对于线 性空间V中间任何两个不相同的对象x和y,以及任意实数a和b,有:
T(ax + by) = aT(x) + bT(y),
那么就称T为线性变换。

定义都是这么写的,但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换?我们刚才说了,变换是从空间的一个点跃迁到另一个点,而线性 变换,就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思,就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的 另一个点,而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变,只要变换前后都是线性空间中的对象,这个变换就一定是线性变换,也就一定可以用一 个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换,一定是一个线性变换。有的人可能要问,这里为什么要强调非奇异矩阵?所谓非奇异,只对方阵有 意义,那么非方阵的情况怎么样?这个说起来就会比较冗长了,最后要把线性变换作为一种映射,并且讨论其映射性质,以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清 楚。我觉得这个不算是重点,如果确实有时间的话,以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换,就是在同一个线性空间之内的线性 变换。也就是说,下面所说的矩阵,不作说明的话,就是方阵,而且是非奇异方阵。学习一门学问,最重要的是把握主干内容,迅速建立对于这门学问的整体概念, 不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况,自乱阵脚。

接着往下说,什么是基呢?这个问题在后面还要大讲一番,这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系,不是坐标值,这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来,“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好,最后我们把矩阵的定义完善如下:

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中,只要我们选定一组基,那么对于任何一个线性变换,都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

理解这句话的关键,在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象,一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中,一个对象可以有多个引用,每个引用可以叫不同的名字,但都是指的同一个对象。如果还不形象,那就干脆来个很俗的类比。

比如有一头猪,你打算给它拍照片,只要你给照相机选定了一个镜头位置,那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述,但只是 一个片面的的描述,因为换一个镜头位置给这头猪拍照,能得到一张不同的照片,也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述, 但是又都不是这头猪本身。

同样的,对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基,就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。

但是这样的话,问题就来了如果你给我两张猪的照片,我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢?同样的,你给我两个矩阵,我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢?如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述,那就是本家兄弟了,见面不认识,岂不成了笑话。

好在,我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质,那就是:

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(之所以会不同,是因为选定了不同的基,也就是选定了不同的坐标系),则一定能找到一个非奇异矩阵P,使得A、B之间满足这样的关系:

A = P-1BP

线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来,这就是相似矩阵的定义。没错,所谓相似矩阵,就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义,同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点,不过能让人明白。

而在上面式子里那个矩阵P,其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论,可以用一种非常直觉的方法来证明(而不是一般教科书上那种形式上的证明),如果有时间的话,我以后在blog里补充这个证明。

这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊!难 怪这么重要!工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程,其中讲了各种各样的相似变换,比如什么相似标准型,对角化之类的内容,都要求变换以后得到的那个 矩阵与先前的那个矩阵式相似的,为什么这么要求?因为只有这样要求,才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然,同一个线性变换的不同矩阵 描述,从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解,同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可 以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵,而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

这样一来,矩阵作为线性变换描述的一面,基本上说清楚了。但是,事情没有那么简单,或者说,线性代数还有比这更奇妙的性质,那就是,矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而 作为变换的矩阵,不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去,而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)去。而且,变换点 与变换坐标系,具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙,就蕴含在其中。理解了这些内容,线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

这个留在下一篇再写吧。

因为有别的事情要做,下一篇可能要过几天再写了。

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